Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^33^n, (Teste da razão).

Passo 1

O enunciado quer saber se a série sumn=1^infty n^33^n converge ou diverge usando o teste da razão. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar lembrar da definição do teste da razão e aplicar ao termo geral an = n^33^n.

Passo 2

O teste da razão afirma que, para anneq0, se
L = limntoinfty |an+1an|
existe e satisfaz:
  • L<1 implica convergência absoluta da série,
  • L>1 implica divergência,
  • L=1 é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Temos
an+1an = (n+1)^3/3^n+1n^3/3^n = (n+1n)^3 cdot 13

Passo 4

Agora, tiramos o limite dessa expressão quando ntoinfty:
L = limntoinfty (n+1n)^3 cdot 13 = 1^3 cdot 13 = 13
Como L=tfrac13<1, concluímos pelo teste da razão que a série converge absolutamente.

Resposta

Converge

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