Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação diferencial:
y'' + 5y' + 3y = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a solução geral da equação homogênea.
Passo 3
Vamos achar a equação característica associada:
r^2 + 5r + 3 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132
Então, as raízes são:
r1 = -5 + raiz132, r2 = -5 - raiz132
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r1
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $, $ y(0) = 1 $:
C1
Passo 7
Em seguida, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $: