Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
Escolha uma opção:
y=3 e^-t+22-e^t+222
Nenhuma das demais alternativas
y=-1-e^-3 t
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]
y=e^9(1-t)+9 e^t-110

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação diferencial:
y'' + 5y' + 3y = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a solução geral da equação homogênea.

Passo 3

Vamos achar a equação característica associada:
r^2 + 5r + 3 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132
Então, as raízes são:
r1 = -5 + raiz132, r2 = -5 - raiz132

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r1

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, para $ t = 0 $, $ y(0) = 1 $:
C1

Passo 7

Em seguida, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
y'(t)

Passo 8

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 C1 r1 + C2 r2 = 0
Substituímos os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r1

Passo 9

Resolvendo o sistema, encontramos:
C1 = 13 + 5raiz1326, C2 = 13 - 5raiz1326

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2] + 13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]

Exercícios relacionados