Seja
. Mostre que a derivada parcial de
em relação a
, é dada por
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de f(x,y)=(x²+y²)^{2/3} em relação a x. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de várias variáveis e a regra da cadeia para o caso (x,y)≠(0,0), além da definição de derivada pelo limite no caso (0,0).
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), note que podemos escrever f como composição f(x,y)=g(u) com u(x,y)=x²+y² e g(u)=u^{2/3}. Pela regra da cadeia temos ∂f/∂x = g’(u)·∂u/∂x. Calculamos g’(u)=(2/3)u^{-1/3} e ∂u/∂x=2x. Logo
Passo 3
No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
Passo 4
Para h>0 isso vale h^{1/3}→0 e para h<0 vale -(-h)^{1/3}→0. Como ambos os limites laterais são 0, segue que f_x(0,0)=0.
Resposta
f_x(x,y)=