Seja f(x, y)=(x^2+y^2)^23. Mostre que a derivada parcial de f em relação a x, é dada por
fx(x, y)= 4 x3(x^2+y^2)^13, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de f(x,y)=(x²+y²)^{2/3} em relação a x. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de várias variáveis e a regra da cadeia para o caso (x,y)≠(0,0), além da definição de derivada pelo limite no caso (0,0).

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), note que podemos escrever f como composição f(x,y)=g(u) com u(x,y)=x²+y² e g(u)=u^{2/3}. Pela regra da cadeia temos ∂f/∂x = g’(u)·∂u/∂x. Calculamos g’(u)=(2/3)u^{-1/3} e ∂u/∂x=2x. Logo
fx(x,y)=23u^-1/3cdot2x=4x3,u^-1/3=4x3,(x^2+y^2)^1/3

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0|h|^4/3h

Passo 4

Para h>0 isso vale h^{1/3}→0 e para h<0 vale -(-h)^{1/3}→0. Como ambos os limites laterais são 0, segue que f_x(0,0)=0.

Resposta

f_x(x,y)= dfrac4x3,(x^2+y^2)^1/3,& (x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)

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