Sejam
e
inteiros com
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que quer saber se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa para inteiros $ a, b $ e $ c $ com $ a \neq 0 $:
Aqui, estamos lidando com o Máximo Divisor Comum (mdc), que é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Para resolver isso, vamos verificar se essa igualdade sempre se mantém verdadeira ou se existe algum caso que a quebre.
Passo 2
Primeiro, vou explicar rapidinho o que significa o mdc. O Máximo Divisor Comum de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 12 e 18 é 6, porque 6 é o maior número que divide tanto 12 quanto 18.
Agora, vamos entender a igualdade que queremos verificar:
Isso está nos perguntando se, ao calcular o mdc de $ a $ e $ b $ primeiro e depois o mdc desse resultado com $ c $, obtemos o mesmo valor que se calcularmos o mdc de $ a $ e $ c $ primeiro e depois o mdc desse resultado com $ b $.
Passo 3
Para verificar se essa igualdade é sempre verdadeira, vamos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, um conjunto de valores para $ a, b $ e $ c $ onde a igualdade não se mantém.
Vamos escolher $ a = 4 $, $ b = 6 $ e $ c = 8 $.
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Parece que nesse caso a igualdade se mantém. Mas vamos tentar com outros números.
Vamos escolher $ a = 6 $, $ b = 10 $ e $ c = 15 $.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Mais uma vez, a igualdade se mantém. Parece que sempre dá certo, mas vamos tentar outro conjunto.
Escolha $ a = 12 $, $ b = 18 $ e $ c = 24 $.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ainda está dando igual. Até agora, todos os exemplos que testamos mantiveram a igualdade verdadeira.
Resposta
Após analisar diferentes exemplos, percebemos que a igualdade
sempre se mantém verdadeira para os inteiros $ a, b $ e $ c $ com $ a \neq 0 $. Portanto, a afirmação é verdadeira.