O problema é um EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dado por
2y''-3y'+y=0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. Vamos precisar montar a equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Para resolver, formamos a equação característica associada substituindo y=e^rt em 2y''-3y'+y=0, o que dá
2r^2-3r+1=0
Usamos a fórmula de Bhaskara: o discriminante é De.
Passo 3
As raízes são
r=3pmraiz12cdot2=3pm14,
ou seja r1=1 e r2=tfrac12. Logo a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^t+C2e^tfrac t2
Passo 4
Derivamos y(t) para aplicar as condições iniciais:
y'(t)=C1e^t+C22e^tfrac t2
Passo 5
Aplicando y(0)=2 temos
C1+C2=2,
e aplicando y'(0)=tfrac12 obtemos
C1+C22=12
Passo 6
Resolvendo o sistema
C1+C2=2, C1+tfracC22=tfrac12,
subtraindo a segunda da primeira vem tfracC22=tfrac32, logo C2=3 e C1=2-3=-1.
Passo 7
Concluímos que a solução do PVI é
y(t)=-e^t+3e^tfrac t2
Verifica-se que a opção proposta y=e^-t+3e^tfrac t2 não satisfaz a equação característica (pois exige r=-1) nem as condições iniciais, portanto está incorreta.