Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(iv)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma equação diferencial e responder algumas questões sobre ela. A equação que temos é:
Vamos precisar entender sobre tipo de equação diferencial, identificar variáveis dependentes e independentes, verificar se a equação é linear ou não-linear, e também converter para a forma normal. Vou explicar cada parte para a gente resolver juntinhos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparecem nela. Aqui, temos a derivada segunda de $ R $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{d^{2} R}{d t^{2}} $. Então, a ordem é 2.
Passo 3
Agora, vamos ver quais são as variáveis dependentes e independentes e as constantes. Na nossa equação:
- Variável independente: $ t $ (o tempo, geralmente)
- Variável dependente: $ R $ (a função que depende de $ t $)
- Constante: $ k $ (um valor fixo que não depende de $ t $ nem de $ R $)
Não parece ter nenhuma ambiguidade nesse ponto, tudo bem definido.
Passo 4
Vamos verificar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se a variável dependente e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si. Além disso, os coeficientes devem ser constantes ou funções da variável independente.
Na nossa equação:
A derivada segunda está sozinha do lado esquerdo, mas do lado direito temos $ \frac{1}{R^{2}} $, que é uma função não linear de $ R $. Como $ R $ está ao quadrado no denominador, a equação não é linear.
Passo 5
Como a equação é não-linear, precisamos verificar se ela é autônoma. Uma equação diferencial é autônoma se a variável independente (no caso, $ t $) não aparece explicitamente na equação.
Nossa equação não tem $ t $ aparecendo diretamente, apenas $ R $ e suas derivadas. Portanto, ela é autônoma.
Passo 6
Agora, vamos converter a equação para a forma normal. A forma normal geralmente significa escrever a equação de modo que a maior derivada esteja isolada.
Nossa equação já está com a derivada segunda isolada:
Então, já está na forma normal. Não precisamos fazer nenhuma conversão adicional. Não há restrições decorrentes da conversão porque já está tudo certo.
Resposta
Ordem: 2
Variável independente: $ t $
Variável dependente: $ R $
Constante: $ k $
Linearidade: Não-linear
Autônoma: Sim
Forma normal:
Restrições: Nenhuma
Variável independente: $ t $
Variável dependente: $ R $
Constante: $ k $
Linearidade: Não-linear
Autônoma: Sim
Forma normal:
Restrições: Nenhuma