Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=-1-e^-3 t

Passo 1

O problema de valor inicial é dado por
2y''-3y'+y=0, y(0)=2, y'(0)=tfrac12,
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y(t)=e^rt:
2r^2-3r+1=0
Resolvendo-a, temos o discriminante De e
r=3pm14,
o que dá as raízes r1=1 e r2=tfrac12.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^t+C2e^t/2

Passo 4

Calculamos a derivada:
y'(t)=C1e^t+tfrac12C2e^t/2
Aplicando as condições iniciais em t=0:
C1+C2=2, C1+tfrac12C2=tfrac12
Subtraindo a segunda da primeira: tfrac12C2=1.5 logo C2=3 e então C1=2-3=-1.

Passo 5

Portanto, a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(t)=-e^t+3e^t/2
Essa expressão é diferente de y=-1-e^-3t, logo a opção proposta está incorreta.

Resposta

y(t) = -e^{t} + 3e^{t/2}

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