Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime+y^prime-4 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=1
Escolha uma opção:
y=-1-e^-3 t
y=3 e^-t+22-e^t+222
Nenhuma das demais alternativas
y=e^9(1-t)+9 e^t-110
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y'' + y' - 4 y = 0
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais comum dividindo tudo por 2:
y'' + 12 y' - 2 y = 0
Agora, para encontrar a solução geral dessa equação, precisamos resolver a equação característica associada, que é obtida substituindo $ y = e^{rt} $:
y = e^rt

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = \frac{1}{2} $ e $ c = -2 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Simplificando mais:
a = 1
Então, temos duas raízes reais e distintas:
b = 12

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^(-1 + raiz33) t4 + C2 e^(-1 - raiz33) t4
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.

Passo 5

Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Isso nos dá:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 0 = C1 + C2
Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
C1 = -C2
Aplicando $ y’(0) = 1 $:
y(t)
Como $ C_1 = -C_2 $, substituímos:
y'(t)
Resolvendo para $ C_1 $:
y'(t) = C1 cdot (-1 + raiz33)4 e^(-1 + raiz33) t4 + C2 cdot (-1 - raiz33)4 e^(-1 - raiz33) t4
E, portanto:
y'(0) = 1

Passo 6

Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Resposta

A solução correta é:
y = 2raiz33 exp [(raiz33-1) t4] - 2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]

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