Escolha uma opção: y=-1-e^-3 t y=3 e^-t+22-e^t+222
Nenhuma das demais alternativas y=e^9(1-t)+9 e^t-110 y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4] y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y'' + y' - 4 y = 0
Além disso, temos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais comum dividindo tudo por 2:
y'' + 12 y' - 2 y = 0
Agora, para encontrar a solução geral dessa equação, precisamos resolver a equação característica associada, que é obtida substituindo $ y = e^{rt} $:
y = e^rt
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = \frac{1}{2} $ e $ c = -2 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Simplificando mais:
a = 1
Então, temos duas raízes reais e distintas:
b = 12
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é: