Resolva a equação x1-x+x-2x-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de frações racionais x1-x + x-2x - 1 = 0. O conteúdo é Equação Racional e a gente vai precisar: determinar o domínio (pra não dividir por zero), juntar tudo num único denominador e resolver o numerador igual a zero.

Passo 2

O denominador da primeira fração é 1 - x e da segunda é x. Então o domínio exige 1 - x neq 0 e x neq 0, ou seja: x neq 1 e x neq 0.

Passo 3

Vamos colocar todos os termos sobre o mesmo denominador x(1 - x). Para isso:
x1-x=x^2x(1-x), x-2x=(x-2)(1-x)x(1-x), 1=x(1-x)x(1-x)

Passo 4

Agora substituímos na equação original e somamos os numeradores:
x^2 + (x-2)(1-x) - x(1-x)x(1-x) = 0
Como uma fração só é zero se o numerador for zero, escrevemos:
x^2 + (x-2)(1-x) - x(1-x) = 0

Passo 5

Expandindo cada parte:
(x-2)(1-x)= -x^2 +3x -2, -x(1-x) = -x + x^2,
logo o numerador fica
x^2 + (-x^2+3x-2) + (-x + x^2) = x^2 +2x -2

Passo 6

Então resolvemos a quadrática
x^2 + 2x - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-2)2cdot1 = -2 pm raiz122 = -1 pm raiz3

Passo 7

Falta só verificar o domínio: ambos -1+raiz3 e -1-raiz3 não são 0 nem 1, então são válidos.
Portanto as soluções são os dois valores encontrados.

Resposta

x = -1 + \sqrt{3},\quad x = -1 - \sqrt{3}

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