A temperatura numa placa é dada por uma função
diferenciável. Partindo-se do ponto
, em qual direção deve-se movimentar para que a temperatura praticamente não varie? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma placa onde a temperatura é dada por uma função $ T(x, y) $ que muda de jeito diferente em cada ponto. A missão é descobrir em qual direção, partindo de um ponto específico $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $, a temperatura praticamente não muda. Para resolver isso, vamos usar noções de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a entender como a função muda quando nos movemos em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que a temperatura “praticamente não varia” em uma direção. Isso quer dizer que, se você se move nessa direção, a mudança na temperatura é quase zero. Na matemática, isso se traduz em uma derivada direcional igual a zero nessa direção.
Passo 3
A derivada direcional de $ T(x, y) $ em uma direção dada por um vetor $ \mathbf{u} = (u_x, u_y) $ é calculada usando o gradiente de $ T $. O gradiente, denotado por $ \nabla T $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. A fórmula para a derivada direcional é:
Aqui, o ponto é que queremos que essa derivada direcional seja zero, ou seja:
Passo 4
Se o produto escalar entre o gradiente $ \nabla T $ e o vetor direção $ \mathbf{u} $ é zero, isso significa que os dois vetores são perpendiculares entre si. Em outras palavras, a direção onde a temperatura não varia é perpendicular ao gradiente da temperatura naquele ponto.
Passo 5
Então, para encontrar a direção onde a temperatura praticamente não varia, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao gradiente $ \nabla T $ no ponto $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $. Isso pode ser feito encontrando vetores que satisfaçam a condição de perpendicularidade com o gradiente, ou seja, que formem um ângulo de 90 graus com $ \nabla T $.
Resposta
A direção em que a temperatura praticamente não varia, partindo do ponto $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $, é qualquer direção perpendicular ao gradiente $ \nabla T $ nesse ponto. Em termos práticos, isso significa que você deve se mover em uma direção tangente às curvas de nível de $ T(x, y) $ em $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $, já que nessas direções a temperatura permanece constante.