Encontre a solução para o Problema de Valor Inicial (PVI) y^{\prime}=y^{2}, y(2)=5 e evidencie em qual intervalo esta solução existe.

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial (PVI)
y' = y^{2},\qquad y(2)=5.
Perguntas claras: encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação diferencial e o valor inicial, e evidenciar em que intervalo essa solução existe (ou seja, o maior intervalo contendo x=2 onde a solução está bem definida).

Passo 2

Idéia do método (separação de variáveis) explicada devagarinho.
A equação é do tipo em que podemos “separar” as variáveis y e x: escrevemos a derivada como \dfrac{dy}{dx}=y^{2} e tentamos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Isso é permitido desde que neste processo não dividamos por zero no ponto considerado — aqui y(2)=5\neq0, então é seguro na vizinhança do ponto inicial.
Dividindo por y^{2} e multiplicando por dx obtemos a forma separada:
\frac{1}{y^{2}}\,dy = dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é uma integral de potência simples; a integral do lado direito é direta:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int dx.
Calculemos as integrais. Usando \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, com n=-2 temos
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}.
Do lado direito,
\int dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto obtemos a relação
-\frac{1}{y} = x + C.

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y} = -(x + C) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{x + C}.
Essa é a família geral de soluções implícitas (cada C dá uma solução).

Passo 5

Usamos a condição inicial y(2)=5 para determinar C. Substituindo x=2 e y=5 na relação -\dfrac{1}{y}=x+C obtemos:
-\frac{1}{5} = 2 + C.
Isolando C,
C = -\frac{1}{5} - 2 = -\frac{1}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{11}{5}.
Substituindo esse C na expressão de y,
y(x) = -\frac{1}{x - \frac{11}{5}}.
Uma forma equivalente, um pouco mais limpa, é
y(x) = \frac{1}{\frac{11}{5} - x}.
Verificação rápida: para x=2 temos \frac{11}{5}-2=\frac{1}{5} e 1/(\tfrac{1}{5})=5, que bate com a condição inicial.

Passo 6

Determinação do intervalo de existência. A solução encontrada tem denominação \frac{11}{5}-x; ela deixa de estar definida quando o denominador é zero, isto é, em x=\tfrac{11}{5}. Portanto a solução não pode ser estendida através desse ponto — de fato há uma singularidade do tipo “explosão” (blow-up) em tempo finito: quando x\to \left(\tfrac{11}{5}\right)^{-} temos y(x)\to +\infty. Como o ponto inicial x=2 satisfaz 2<\tfrac{11}{5}, o maior intervalo aberto que contém 2 e no qual a solução está definida é
\bigl(-\infty,\tfrac{11}{5}\bigr).
Observação sobre unicidade: a função f(y)=y^{2} é contínua e diferenciável em y, logo pelo teorema de existência e unicidade a solução que encontramos é única até o ponto onde ocorre a singularidade.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{\tfrac{11}{5}-x}
Intervalo de existência: x\in\bigl(-\infty,\tfrac{11}{5}\bigr)

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