Encontre a solução para o Problema de Valor Inicial (PVI)
e evidencie em qual intervalo esta solução existe.
Passo 1
O enunciado dá o Problema de Valor Inicial (PVI)
Perguntas claras: encontrar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e o valor inicial, e evidenciar em que intervalo essa solução existe (ou seja, o maior intervalo contendo
onde a solução está bem definida).
Passo 2
Idéia do método (separação de variáveis) explicada devagarinho.
A equação é do tipo em que podemos “separar” as variáveis e
: escrevemos a derivada como
e tentamos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Isso é permitido desde que neste processo não dividamos por zero no ponto considerado — aqui
, então é seguro na vizinhança do ponto inicial.
A equação é do tipo em que podemos “separar” as variáveis
Dividindo por
e multiplicando por
obtemos a forma separada:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é uma integral de potência simples; a integral do lado direito é direta:
Calculemos as integrais. Usando
para
, com
temos
Do lado direito,
onde
é a constante de integração. Portanto obtemos a relação
Passo 4
Isolamos
. Multiplicando por
e invertendo,
Essa é a família geral de soluções implícitas (cada
dá uma solução).
Passo 5
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na relação
obtemos:
Isolando
,
Substituindo esse
na expressão de
,
Uma forma equivalente, um pouco mais limpa, é
Verificação rápida: para
temos
e
, que bate com a condição inicial.
Passo 6
Determinação do intervalo de existência. A solução encontrada tem denominação
; ela deixa de estar definida quando o denominador é zero, isto é, em
. Portanto a solução não pode ser estendida através desse ponto — de fato há uma singularidade do tipo “explosão” (blow-up) em tempo finito: quando
temos
. Como o ponto inicial
satisfaz
, o maior intervalo aberto que contém
e no qual a solução está definida é
Observação sobre unicidade: a função
é contínua e diferenciável em
, logo pelo teorema de existência e unicidade a solução que encontramos é única até o ponto onde ocorre a singularidade.
Resposta
Intervalo de existência: