Calcule as integrais duplas:
\iint_{R} y e^{x} d A, onde R é o retângulo R=[2,4] \times[1,9]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y e^{x}\,dA,
onde R é o retângulo \,R=[2,4]\times[1,9]\,.
Informações dadas:
\text{integrando: } y e^{x},\qquad \text{região: } x\in[2,4],\; y\in[1,9].ã
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Como o integrando y e^{x} é contínuo em todo o retângulo R, podemos usar a propriedade de integração iterada (Teorema de Fubini): a integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Ou seja, podemos escrever
\iint_{R} y e^{x}\,dA = \int_{y=1}^{9}\left(\int_{x=2}^{4} y e^{x}\,dx\right)dy.
Aqui a ideia é integrar primeiro em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 3

Dentro da integral interna, y é constante em relação a x, então posso tirar y para fora da integral em x:
\int_{x=2}^{4} y e^{x}\,dx = y\int_{x=2}^{4} e^{x}\,dx.
Portanto
\iint_{R} y e^{x}\,dA = \int_{y=1}^{9} \left[ y\int_{2}^{4} e^{x}\,dx \right] dy = \left(\int_{2}^{4} e^{x}\,dx\right)\left(\int_{1}^{9} y\,dy\right),
pois o fator \int_{2}^{4} e^{x}\,dx é independente de y e pode ser colocado fora da integral em y. Essa separação em produto de integrais é válida quando o integrando se separa como função de x vezes função de y.

Passo 4

Calculo a integral em x:
\int_{2}^{4} e^{x}\,dx.
A antiderivada de e^{x} é e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x}). Assim,
\int_{2}^{4} e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{2}^{4} = e^{4}-e^{2}.

Passo 5

Calculo a integral em y:
\int_{1}^{9} y\,dy.
A antiderivada de y é \tfrac{1}{2}y^{2} (porque \dfrac{d}{dy}\big(\tfrac{1}{2}y^{2}\big)=y). Então
\int_{1}^{9} y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2}\Big|_{1}^{9} = \tfrac{1}{2}(9^{2}-1^{2}) = \tfrac{1}{2}(81-1)=\tfrac{1}{2}\cdot 80 = 40.

Passo 6

Multiplico os resultados das integrais unidimensionais obtidas nos passos anteriores:
\iint_{R} y e^{x}\,dA = \left(e^{4}-e^{2}\right)\cdot 40 = 40\left(e^{4}-e^{2}\right).
Se quiser uma ideia numérica rápida, e^{2}\approx 7{,}389 e e^{4}\approx 54{,}598, então o valor aproximado é 40(54{,}598-7{,}389)\approx 40\cdot 47{,}209\approx 1{,}888{,}360. Mas a forma exata é mais elegante e recomendada em prova.

Resposta

40\left(e^{4}-e^{2}\right)

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