Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
e^{x} d x-y d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. O que nos é dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: e^{x}\,dx - y\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • A pergunta implícita: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a separar as variáveis para integrar. Basta isolar os diferenciais em lados diferentes:
e^{x}\,dx = y\,dy.
Aqui eu apenas somei y\,dy em ambos os lados e mantive e^{x}\,dx do outro lado. Agora cada lado contém apenas uma variável (o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y), o que permite integrar.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • A integral de e^{x} em relação a x é e^{x} porque a derivada de e^{x} é e^{x}.
  • A integral de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2} porque a derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} é y.
Aplicando as integrais:
\int e^{x}\,dx = \int y\,dy.
Isso dá
e^{x} + C_{1} = \tfrac{1}{2}y^{2} + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Passo 4

Juntamos as constantes de integração em uma só constante. Subtraindo C_{1} dos dois lados, obtemos
e^{x} = \tfrac{1}{2}y^{2} + C,
onde C = C_{2}-C_{1} é uma constante arbitrária. Essa é a relação implícita entre y e x encontrada pela integração.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar a constante C. Substituindo x=0 e y=1 em \displaystyle e^{x} = \tfrac{1}{2}y^{2} + C:
e^{0} = \tfrac{1}{2}\cdot 1^{2} + C.
Como e^{0}=1, segue
1 = \tfrac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo C=\tfrac{1}{2} na relação implícita, temos
e^{x} = \tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando y^{2}:
2e^{x} = y^{2} + 1 \quad\Rightarrow\quad y^{2} = 2e^{x}-1.
Agora, para obter y precisamos tirar a raiz quadrada. Há duas escolhas formais, y=\pm\sqrt{2e^{x}-1}. Para decidir o sinal usamos a condição inicial: y(0)=1>0, então devemos escolher o ramo positivo da raiz.

Passo 7

Verificamos o domínio onde a expressão dentro da raiz é não negativa:
2e^{x}-1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad e^{x} \ge \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x \ge \ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = -\ln 2.
A condição inicial x=0 está dentro desse domínio, então a solução com o sinal positivo é válida em [-\ln 2,\infty).

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{2e^{x}-1},\quad x\ge -\ln 2

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