Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. O que nos é dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - A pergunta implícita: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Reescrevemos a equação de forma a separar as variáveis para integrar. Basta isolar os diferenciais em lados diferentes:
Aqui eu apenas somei
em ambos os lados e mantive
do outro lado. Agora cada lado contém apenas uma variável (o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
), o que permite integrar.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vou explicar as integrais usadas:
- A integral de
em relação a é porque a derivada de é . - A integral de
em relação a é porque a derivada de é .
Aplicando as integrais:
Isso dá
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Juntamos as constantes de integração em uma só constante. Subtraindo
dos dois lados, obtemos
onde
é uma constante arbitrária. Essa é a relação implícita entre
e
encontrada pela integração.
Passo 5
Usamos a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
em
:
Como
, segue
Passo 6
Substituindo
na relação implícita, temos
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Agora, para obter
precisamos tirar a raiz quadrada. Há duas escolhas formais,
. Para decidir o sinal usamos a condição inicial:
, então devemos escolher o ramo positivo da raiz.
Passo 7
Verificamos o domínio onde a expressão dentro da raiz é não negativa:
A condição inicial
está dentro desse domínio, então a solução com o sinal positivo é válida em
.