Encontre a solução em série de potências da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução por série de potências da equação
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de
, então vamos buscar a solução no formato
Passo 2
Assuma
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Reescrevendo o segundo termo como
e comparando com
onde
,
e
para
, segue para todo
:
Passo 4
Para
:
Para
:
Para
,
, daí a recorrência geral
Passo 5
Tomando
e
como constantes livres (são
e
), calculamos alguns termos:
e assim por diante. Os pares satisfazem
e os ímpares têm fórmula análoga a partir de
.
Passo 6
Portanto a solução geral em série é
onde
e
são constantes de integração.
Resposta
com
e
constantes arbitrárias.