Encontre a solução em série de potências da equação
y^prime prime-t y^prime=1-t

Passo 1

O enunciado pede a solução por série de potências da equação
y'' - t,y' = 1 - t
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de t=0, então vamos buscar a solução no formato
y(t)=sumn=0^infty an,t^n

Passo 2

Assuma
y(t)=sumn=0^infty an,t^n
Então
y'(t)=sumn=1^infty n,an,t^n-1 =sumn=0^infty (n+1),an+1,t^n,
y''(t)=sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2 =sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n

Passo 3

Substituindo em ,y''-t,y'=1-t obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n ;-;tsumn=0^infty (n+1),an+1,t^n ;=;1 - t
Reescrevendo o segundo termo como
-tsumn=0^infty (n+1)an+1t^n =-sumn=1^infty n,an,t^n
e comparando com
1 - t ;=;sumn=0^infty cn,t^n,
onde c0=1, c1=-1 e cn=0 para n>=2, segue para todo n>=0:
(n+2)(n+1),an+2;-;n,an ;=;cn

Passo 4

Para n=0:
2cdot1,a2 - 0cdot a0 = c0=1 Longrightarrow a2 = tfrac12
Para n=1:
3cdot2,a3 -1cdot a1 = c1=-1 Longrightarrow a3 = a1-16
Para n>=2, cn=0, daí a recorrência geral
an+2 = n,an(n+2)(n+1), n>=2

Passo 5

Tomando a0 e a1 como constantes livres (são y(0) e y'(0)), calculamos alguns termos:
a4 = 2,a24cdot3 = 112, a5 = 3,a35cdot4 = a1-140,
e assim por diante. Os pares satisfazem
a2k=(2k-2),a2k-2(2k)(2k-1),
e os ímpares têm fórmula análoga a partir de a3.

Passo 6

Portanto a solução geral em série é
y(t) = a0 + a1,t + tfrac12,t^2 +a1-16,t^3 +112,t^4 +a1-140,t^5 +cdots,
onde a0=y(0) e a1=y'(0) são constantes de integração.

Resposta

y(t) = a0 + a1,t + 12,t^2 + a1-16,t^3 + 112,t^4 + a1-140,t^5 +cdots,
com a0 e a1 constantes arbitrárias.

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