Encontre a solução para o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y’’ + 4y’ + 5y = 0
com as condições y(0) = 2 e y’(0) = –1.
Este tipo de problema exige usar a teoria de equações diferenciais lineares: primeiro montamos a equação característica, depois obtemos a solução geral e finalmente aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
Para encontrar a equação característica, substituímos y(t)=e^{rt} em y’’ + 4y’ + 5y = 0, o que leva a
r^2 + 4r + 5 = 0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para obter as raízes complexas:
Passo 3
O discriminante é 16 – 20 = –4, de modo que
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i.
Como as raízes são r = –2 ± i, sabemos que a solução geral é da forma:
Passo 4
A teoria diz que, quando as raízes são λ ± μi, a solução geral é e^{λt}(A cos(μt) + B sin(μt)). Aqui λ = –2 e μ = 1, logo:
y(t) = e^{-2t}\bigl(A \cos t + B \sin t\bigr).
Passo 5
Para achar A e B, precisamos de y’(t). Derivando y(t) temos
y’(t) = e^{-2t}\bigl((-2A + B)\cos t + (-A - 2B)\sin t\bigr).
Em t = 0, as condições iniciais geram o sistema:
• y(0) = A = 2
• y’(0) = -2A + B = -1
Resposta
y(t) = e^{-2t}\bigl(2 \cos t + 3 \sin t\bigr)