Encontre a solução para o problema de valor inicial:
2 y^prime prime-8 y^prime+6 y=0 y(1)=2, y^prime(1)=0

Passo 1

Estamos resolvendo um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: 2 y’’ - 8 y’ + 6 y = 0, com y(1) = 2 e y’(1) = 0. Vamos usar a técnica de equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes via condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y = e^{rt}:
2r^2 - 8r + 6 = 0
dividimos por 2:
r^2 - 4r + 3 = 0
que fatoriza em (r - 1)(r - 3) = 0. Logo, as raízes são r = 1 e r = 3.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = C1 e^t + C2 e^3t
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y’(t). Derivando:
y'(t) = C1 e^t + 3 C2 e^3t

Passo 5

Agora usamos y(1)=2 e y’(1)=0 em t=1:
C1 e^1 + C2 e^3 = 2, C1 e^1 + 3 C2 e^3 = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3C2 e^3 - C2 e^3) = -2 implies 2 C2 e^3 = -2 implies C2 = -1e^3
Em seguida, substituímos em C_1 e^{1} + C_2 e^{3} = 2:
C1 e - 1 = 2 implies C1 = 3e

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t) = 3e e^t - 1e^3 e^3t = 3 e^t-1 - e^3t-3

Passo 7

Esse é o resultado final que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

Resposta

y(t) = 3 e^{t-1} - e^{3t-3}

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