Encontre a solução para o problema de valor inicial:
Passo 1
Estamos resolvendo um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: 2 y’’ - 8 y’ + 6 y = 0, com y(1) = 2 e y’(1) = 0. Vamos usar a técnica de equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes via condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo y = e^{rt}:
dividimos por 2:
que fatoriza em (r - 1)(r - 3) = 0. Logo, as raízes são r = 1 e r = 3.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y’(t). Derivando:
Passo 5
Agora usamos y(1)=2 e y’(1)=0 em t=1:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Em seguida, substituímos em C_1 e^{1} + C_2 e^{3} = 2:
Passo 6
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
Passo 7
Esse é o resultado final que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Resposta
y(t) = 3 e^{t-1} - e^{3t-3}