Considere a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0
Sabendo que y1(x)=x é uma solução dessa equação, encontre uma segunda solução y2(x) que forme um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Demonstre que é um conjunto fundamental.

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem
x^2y''-2xy'+2y=0
Este é uma equação de Euler–Cauchy. Recebemos que uma solução é y1(x)=x. Nosso objetivo é achar uma segunda solução y2(x) independente de y1 e mostrar que formam um conjunto fundamental usando o Wronskiano.

Passo 2

Dividimos a equação por x^2 (assumindo xneq0) para colocá-la na forma padrão:
y''-2xy'+2x^2y=0
Aqui identificamos
p(x)=-2x, q(x)=2x^2

Passo 3

Aplicamos a redução de ordem usando a fórmula para a segunda solução quando y1 é conhecida:
y2 = y1integral expl(-integral p(x),dxr)y1^2,dx

Passo 4

Substituindo p(x)=-2/x e y1(x)=x:
-integral p(x),dx = -integral(-2/x),dx = 2ln x,
exp(2ln x)=x^2,
então o integrando fica
x^2(x)^2=1
e
integral1,dx = x
Logo
y2 = xcdot x = x^2
A solução geral é
y=C1 x + C2 x^2

Passo 5

Para garantir que x, x^2 é um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
W(x)=x & x^21 & 2x=xcdot2x - x^2cdot1 = x^2 neq 0(forall xneq0)
Como W(x) não se anula, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Resposta

A segunda solução é y2(x)=x^2, e o conjunto fundamental de soluções é x,,x^2, pois seu Wronskiano é W(x)=x^2neq0 para xneq0.

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