Considere a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea:
Sabendo que é uma solução dessa equação, encontre uma segunda solução que forme um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Demonstre que é um conjunto fundamental.
Passo 1
Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem
Este é uma equação de Euler–Cauchy. Recebemos que uma solução é . Nosso objetivo é achar uma segunda solução independente de e mostrar que formam um conjunto fundamental usando o Wronskiano.
Passo 2
Dividimos a equação por (assumindo ) para colocá-la na forma padrão:
Aqui identificamos
Passo 3
Aplicamos a redução de ordem usando a fórmula para a segunda solução quando é conhecida:
Passo 4
Substituindo e :
então o integrando fica
e
Logo
A solução geral é
Passo 5
Para garantir que é um conjunto fundamental, calculamos o Wronskiano:
Como W(x) não se anula, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Resposta
A segunda solução é y2(x)=x^2, e o conjunto fundamental de soluções é x,,x^2, pois seu Wronskiano é W(x)=x^2neq0 para xneq0.