Encontre a solução do problema de Valor inicial
, para
.
Passo 1
A gente quer resolver a EDO linear de primeira ordem
com a condição inicial
. O conteúdo é método do fator integrante para equações lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos o coeficiente de
que é
, então o fator integrante é
. Multiplicando a equação original por
fica:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados. Para calcular
usamos a fórmula
com
e
. Isso dá
$$
e^{t/2}y= e^{t/2}\bigl(\tfrac{4}{5}\cos t + \tfrac{8}{5}\sin t\bigr)+C,$$
logo
logo
Passo 4
Por fim, aplicamos
:
implica
. Substituindo em
obtemos a solução final.
Resposta
y(t)=\tfrac{4}{5}\cos t+\tfrac{8}{5}\sin t-\tfrac{9}{5}e^{-t/2}