Encontre a solução do problema de Valor inicial
y^prime+12 y=2 cos t, para y(0)=-1.

Passo 1

A gente quer resolver a EDO linear de primeira ordem y' + tfrac12 y = 2cos t com a condição inicial y(0) = -1. O conteúdo é método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos o coeficiente de y que é tfrac12, então o fator integrante é mu(t)=e^integral tfrac12,dt=e^t/2. Multiplicando a equação original por e^t/2 fica:
ddtl(e^t/2yr)=2e^t/2cos t

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados. Para calcular
integral 2e^t/2cos t,dt usamos a fórmula
integral e^atcos(bt),dt=e^ata^2+b^2(acos(bt)+bsin(bt))+C com a=tfrac12 e b=1. Isso dá
$$
e^{t/2}y= e^{t/2}\bigl(\tfrac{4}{5}\cos t + \tfrac{8}{5}\sin t\bigr)+C,$$
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e^t/2y= e^t/2l(tfrac45cos t + tfrac85sin tr)+C,

Passo 4

Por fim, aplicamos y(0)=-1:
C=-tfrac95 implica y(t). Substituindo em obtemos a solução final.

Resposta

y(t)=\tfrac{4}{5}\cos t+\tfrac{8}{5}\sin t-\tfrac{9}{5}e^{-t/2}

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