Estude as séries a seguir, em termos de sua convergência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos estudar a série
para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries infinitas, especificamente séries harmônicas. Vamos utilizar o teste da série harmônica para resolver isso.
Passo 2
Observamos que a série dada é
. Essa série é muito parecida com a série harmônica clássica, que é
. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não tem soma finita.
Passo 3
Podemos comparar as duas séries. Note que para todo
, temos:
Isso mostra que cada termo da nossa série é menor ou igual ao termo correspondente da série harmônica.
Passo 4
Embora cada termo da nossa série seja menor, a série harmônica diverge. No entanto, adicionar ou remover um número finito de termos de uma série infinita não altera sua natureza quanto à convergência ou divergência. Portanto, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.