Resolva a equação
y+y^2 sen t=3 t^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação que relaciona $ y $ e $ t $:
y
O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra, especialmente técnicas de manipulação de equações e fatoração. Vamos precisar reorganizar os termos para isolar o $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar todos os termos da equação de um lado para facilitar a resolução. Subtraímos $ 3 t^{2} y^{2} $ dos dois lados:
3 t^2 y^2
Isso nos deixa com uma equação igualada a zero, o que é ótimo para fatoração.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o $ y $ que está em todos os termos restantes:
y
Aqui, retiramos o $ y $ como fator comum, o que simplifica a equação.

Passo 4

Quando temos uma multiplicação igual a zero, pelo Princípio do Produto Nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, temos duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ 1 + y \sin t - 3 t^{2} y = 0 $

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para encontrar o valor de $ y $:
y
Primeiro, agrupamos os termos com $ y $:
1 + y sin t - 3 t^2 y = 0
Agora, isolamos o $ y $:
y
Ou simplificando:
y (sin t - 3 t^2) = -1

Resposta

As soluções da equação são:
y = 0 e y = 13 t^2 - sin t

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