Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
y^prime prime-y=t e^3 t, y(pi)=0, y^prime(pi)=1;

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO de segunda ordem não homogênea
y''-y = t,e^3t
com condições iniciais
y(pi)=0, y'(pi)=1
O plano é: (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) obter uma particular por coeficientes indeterminados, (iii) impor as condições para determinar as constantes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-y=0
com equação característica r^2-1=0, raízes r=pm1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^-t

Passo 3

Para a solução particular tentamos
yp(t)=(A,t + B)e^3t
Calculamos as derivadas:
yp'(t)=l(3A,t + (3B + A)r)e^3t,
yp''(t)=l(9A,t + (6A + 9B)r)e^3t
Substituindo em y''-y=t,e^3t
l[9A,t + (6A+9B)r]e^3t - (A,t + B)e^3t = t,e^3t,
isto é
(8A),t + (6A+9B - B) = t
Igualando coeficientes obtemos
8A = 1Longrightarrow A=tfrac18,
6A + 8B = 0Longrightarrow B=-tfrac332
Logo
yp(t)=l(tfrac18,t - tfrac332r)e^3t

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1e^t+C2e^-t+l(tfrac18,t - tfrac332r)e^3t
Calculamos
y'(t)=C1e^t-C2e^-t+l(tfrac38,t - tfrac532r)e^3t
Impondo y(pi)=0 e y'(pi)=1 resulta o sistema linear em
;A=C1e^pi,;B=C2e^-pi:
A + B = -l(tfracpi8-tfrac332r)e^3pi,[6pt] A - B = 1 - l(tfrac3pi8-tfrac532r)e^3pi ]

Passo 5

Resolvendo para A e B:
A = tfrac12l[1 + l(-tfracpi2 + tfrac14r)e^3pir], B = tfrac12l[-1 + l(tfracpi4 - tfrac116r)e^3pir]
Volta-se a C1=A,e^-pi e C2=B,e^pi.

Resposta

y(t) = C1e^t+C2e^-t +l(tfrac18,t - tfrac332r)e^3t,
onde
C1 =tfrac12,e^-pi +tfrac12l(-tfracpi2+tfrac14r)e^2pi, C2 =-tfrac12,e^pi +tfrac12l(tfracpi4-tfrac116r)e^4pi

Exercícios relacionados