Encontre a solução dos problemas de valor inicial a seguir.
y^prime-3 y=4 x, y(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem
y'-3y=4x
com a condição inicial
y(0)=0
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Para achar o fator integrante calculamos
mu(x)=e^integral -3,dx=e^-3x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de um produto:
ddxl(e^-3xyr)=4x,e^-3x
Integrando ambos os lados,
e^-3xy=integral 4x,e^-3x,dx + C
Para calcular integral 4x,e^-3x,dx usamos integração por partes. Seja u=4x e dv=e^-3xdx, daí du=4,dx e v=-tfrac13e^-3x. Logo
integral 4x,e^-3x,dx =4xl(-tfrac13e^-3xr)-integrall(-tfrac13e^-3xr),4,dx =-tfrac43x,e^-3x-tfrac49e^-3x+C
Portanto
e^-3xy=-tfrac43x,e^-3x-tfrac49e^-3x+C

Passo 4

Multiplicando por e^3x obtemos
y=-tfrac43x-tfrac49+Ce^3x
Usando a condição inicial y(0)=0
0=-0-tfrac49+Cimplies C=tfrac49

Passo 5

Substituindo C na expressão de y e simplificando, fica
y(x)=-tfrac43x-tfrac49+tfrac49e^3x =-tfrac43x+tfrac49l(e^3x-1r)

Resposta

y(x)=-tfrac43x+tfrac49l(e^3x-1r)

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