Encontre a solução dos problemas de valor inicial a seguir.
y^prime+2 x y=x^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' + 2x,y = x^2, y(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = exp(x^2)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^x^2y' + 2x e^x^2y = x^2 e^x^2 Longrightarrow ddxl(y,e^x^2r) = x^2 e^x^2

Passo 4

Integramos de 0 até x e aplicamos y(0)=1:
y(x)e^x^2 - y(0)e^0 = integral0^x t^2 e^t^2,dt Longrightarrow y(x)e^x^2 = 1 + integral0^x t^2 e^t^2,dt

Passo 5

Isolando y(x) obtemos a solução geral que satisfaz a condição inicial:
y(x) = e^-x^2l(1 + integral0^x t^2 e^t^2,dtr)

Resposta

y(x) = e^-x^2l(1 + integral0^x t^2 e^t^2,dtr)

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