Encontre a solução dos PVI abaixo.
9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=-1;

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9,y'' - 12,y' + 4,y = 0
sujeita a
y(0) = 2, y'(0) = -1
O conteúdo aqui é resolver EDO por meio da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
9r^2 - 12r + 4 = 0
Essa equação nos dá as raízes que determinam a forma da solução geral.

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-12)^2 - 4 cdot 9 cdot 4 = 144 - 144 = 0
Como De<a = 0, há uma raiz real de multiplicidade 2:
r = 122cdot 9 = 23

Passo 4

Para uma raiz dupla r = tfrac23, a solução geral da EDO homogênea é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^23x,
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Derivando y(x):
y'(x) = C2,e^23x + l(C1 + C2,xr),23,e^23x
Em x=0, da condição y(0)=2 obtemos
C1 = 2
Também
y'(0) = C2 + C123 = -1 Longrightarrow C2 + 43 = -1 Longrightarrow C2 = -73

Passo 6

Substituindo C1=2 e C2=-tfrac73 na solução geral, alcançamos a solução particular do PVI.

Resposta

y(x) = l(2 - 73,xr),e^23x

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