Sejam f1, f2, ldots, fn, n >= 2, funções deriváveis em p. Prove, por indução finita, que f1+f2+ldots+fn é derivável em p.

Passo 1

O enunciado diz que temos n funções f1,f2,dots,fn todas deriváveis em um ponto p. Queremos mostrar, por indução finita em n, que
F(x)=f1(x)+f2(x)+cdots+fn(x)
é derivável em p. O conteúdo teórico principal é a definição de derivada via limite do quociente de diferença e a propriedade de soma de limites.

Passo 2

Base da indução ( n=2). Como f1 e f2 são deriváveis em p, existem os limites
limxto pf1(x)-f1(p)x-p=f1'(p), limxto pf2(x)-f2(p)x-p=f2'(p)
Considere F(x)=f1(x)+f2(x). Então
limxto pF(x)-F(p)x-p = limxto pf1(x)-f1(p)x-p + limxto pf2(x)-f2(p)x-p = f1'(p)+f2'(p)
Esse limite existe e é finito, logo F é derivável em p. Base feita.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum k>=2, a soma
G(x)=f1(x)+f2(x)+cdots+fk(x)
é derivável em p e que
G'(p)=f1'(p)+f2'(p)+cdots+fk'(p)
Como fk+1 também é derivável em p, podemos aplicar o caso n=2 à soma de G com fk+1. Logo
H(x)=G(x)+fk+1(x)
é derivável em p e
H'(p)=G'(p)+fk+1'(p) = l(f1'(p)+cdots+fk'(p)r)+fk+1'(p)
Assim, concluímos que a soma das k+1 funções é derivável em p com derivada igual à soma das derivadas.

Passo 4

Pelo princípio da indução finita, a propriedade vale para todo n>=2: a função
F(x)=f1(x)+f2(x)+cdots+fn(x)
é derivável em p e
F'(p)=f1'(p)+f2'(p)+cdots+fn'(p)

Resposta

A soma f1+cdots+fn é derivável em p, com
l(f1+cdots+fnr)'(p) = f1'(p)+cdots+fn'(p)

Exercícios relacionados