Sejam
, funções deriváveis em
. Prove, por indução finita, que
é derivável em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos
funções
todas deriváveis em um ponto
. Queremos mostrar, por indução finita em
, que
é derivável em
. O conteúdo teórico principal é a definição de derivada via limite do quociente de diferença e a propriedade de soma de limites.
Passo 2
Base da indução (
). Como
e
são deriváveis em
, existem os limites
Considere
. Então
Esse limite existe e é finito, logo
é derivável em
. Base feita.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
, a soma
é derivável em
e que
Como
também é derivável em
, podemos aplicar o caso
à soma de
com
. Logo
é derivável em
e
Assim, concluímos que a soma das
funções é derivável em
com derivada igual à soma das derivadas.
Passo 4
Pelo princípio da indução finita, a propriedade vale para todo
: a função
é derivável em
e
Resposta
A soma
é derivável em
, com