Ache uma fórmula para a soma 1+2 x+3 x^2+ldots+n x^n-1.

Passo 1

O enunciado pede a forma fechada da soma
1 + 2x + 3x^2 + cdots + n x^n-1,
que é uma progressão aritmético–geométrica. Uma maneira eficiente é notar que
sumk=1^n k,x^k-1
é justamente a derivada em relação a x da soma geométrica sumk=0^nx^k.

Passo 2

Começamos pela soma geométrica finita
G(x)=sumk=0^nx^k=1 - x^n+11 - x,
válida para x neq 1. Se diferenciarmos G(x) em relação a x, obtemos
G'(x)=sumk=1^nk,x^k-1

Passo 3

Vamos derivar o lado direito por quociente:
G'(x) =l[-(n+1)x^nr](1 - x) - (1 - x^n+1)(-1)(1 - x)^2
No numerador vem
-(n+1)x^n(1 - x) + (1 - x^n+1) =-(n+1)x^n + (n+1)x^n+1 +1 - x^n+1 =1 - (n+1)x^n + n,x^n+1

Passo 4

Substituindo de volta, concluímos que, para xneq 1,
sumk=1^nk,x^k-1 =1 - (n+1)x^n + n,x^n+1(1 - x)^2

Resposta

1 + 2x + 3x^2 + cdots + n x^n-1 =1 - (n+1)x^n + n,x^n+1(1 - x)^2, xneq 1
(No caso x=1, a soma vale n(n+1)2.)

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