22^circ ) Questão.

Sabendo que y1=t^2 e y2=e^t são soluções de y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, encontre um valor para p(t).

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
e informa duas soluções linearly independentes y1=t^2 e y2=e^t.
O conteúdo aqui é usar a identidade de Abel (ou relação do Wronskiano) para determinar p(t) sem precisar achar q(t).

Passo 2

A identidade de Abel para uma EDO
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
diz que o Wronskiano
W(t)= y1 & y2 y1' & y2'
satisfaz
W'(t)+p(t),W(t)=0
Logo,
p(t)=-W'(t)W(t)

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano de y1=t^2 e y2=e^t.
Temos y1'=2t e y2'=e^t, logo
W(t) = t^2 & e^t 2t & e^t =t^2e^t-2t,e^t =e^tl(t^2-2tr)

Passo 4

Agora derivamos W(t):
W'(t) =ddtl[e^t(t^2-2t)r] =e^t(t^2-2t)+e^t(2t-2) =e^t(t^2-2)

Passo 5

Substituindo em p(t)=-W'/W, obtemos
p(t) =-e^t(t^2-2)e^t(t^2-2t) =-t^2-2t(t-2) =2-t^2t(t-2)

Resposta

p(t)=2 - t^2t,l(t - 2r)

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