Encontre a solução dos PVI abaixo.
2 y^prime prime+y^prime-4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' + y' - 4,y = 0,
sujeita a
y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo que vamos usar é a resolução pelo polinômio característico e ajuste das constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
2r^2 + r - 4 = 0
Resolvendo em r usamos a fórmula de Bhaskara para obter as raízes
r = -1 pm raiz1 + 322cdot 2 = -1 pm raiz334

Passo 3

Como as raízes r1 = -1 + raiz334 e r2 = -1 - raiz334 são distintas, a solução geral é
y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x

Passo 4

Impondo as condições iniciais, no ponto x=0 temos
y(0)=C1+C2=0 Longrightarrow C2=-C1,
e
y'(x)=C1,r1,e^r1 x + C2,r2,e^r2 x Longrightarrow y'(0)=C1r1+C2r2=1
Substituindo C2=-C1 obtemos
C1(r1-r2)=1 Longrightarrow C1=1r1-r2 =1raiz332 =2raiz33,
e portanto C2=-tfrac2raiz33.

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) =2raiz33;e^-1+raiz334x -2raiz33;e^-1-raiz334x

Resposta

boxedy(x) =2raiz33l(e^-1+raiz334x-e^-1-raiz334xr)

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