Queståo 5
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Seja P(n) uma propriedade definida sobre os naturais n >= 1. O que é necessário mostrar para aplicar o Princípio da Indução Matemática?
Escolha uma opção:
a. Que P(1) é verdadeira e que P(k) Rightarrow P(k+1) para todo k >= 1.
b. Que P(n) é verdadeira para infinitos n.
c. Que P(n) é verdadeira para algum n.
d. Apenas que P(1) é verdadeira

Passo 1

O enunciado pergunta o que precisamos mostrar para aplicar o Princípio da Indução Matemática em uma propriedade P(n) definida para n>=1. Vamos lembrar a estrutura padrão de uma prova por indução.

Passo 2

O primeiro ingrediente é a base da indução, que consiste em provar que a afirmação vale para o ponto inicial. No nosso caso, devemos verificar que
P(1)
é verdadeira.

Passo 3

O segundo ingrediente é o passo indutivo, em que assumimos que a afirmação vale para um k arbitrário (\emph{hipótese de indução}) e usamos essa hipótese para provar que a afirmação vale para k+1. Formalmente, mostramos que
l(P(k)implies P(k+1)r)
vale para todo k>=1.

Passo 4

Com esses dois passos – base ( P(1)) e passo indutivo ( P(k)Rightarrow P(k+1)) – concluímos, pelo Princípio da Indução, que P(n) é verdadeira para todo n>=1. Portanto, a opção correta é a que descreve exatamente esses dois requisitos.

Resposta

(a) Que P(1) é verdadeira e que P(k)Rightarrow P(k+1) para todo k>=1.

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