Use os resultados do Problema 17 para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=19s^2-12s+3,,
ou seja, queremos L^-1F(s). O conteúdo que vamos usar é a técnica de completar o quadrado no denominador e a fórmula
Le^atsinh(bt)=b(s-a)^2-b^2

Passo 2

Primeiro fatoramos 9 no denominador:
F(s) =19l(s^2-tfrac43s+tfrac13r) =19,1s^2-tfrac43s+tfrac13
Agora completamos o quadrado em s^2-tfrac43s+tfrac13.

Passo 3

Para completar o quadrado, note que
s^2-43s =l(s-tfrac23r)^2-l(tfrac23r)^2 =l(s-tfrac23r)^2-49,
logo
s^2-43s+13 =l(s-tfrac23r)^2-49+13 =l(s-tfrac23r)^2-19
Assim
F(s) =19,1(s-tfrac23)^2-(tfrac13)^2

Passo 4

Comparando com
Le^atsinh(bt) =b(s-a)^2-b^2,
vemos que aqui a=tfrac23 e b=tfrac13, e que
1(s-a)^2-b^2 =1b,Le^atsinh(bt) =3,Le^tfrac23tsinh(tfrac13t)

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac19 que estava fora, temos
L^-1F(s) =19cdot 3,e^tfrac23tsinhl(tfrac13tr) =13,e^tfrac23tsinh!l(tfrac13tr)

Resposta

f(t)=13,e^tfrac23tsinh!l(tfrac13tr)

Exercícios relacionados