Encontre a solução do PVI abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
com condições iniciais
Dados relevantes: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
; as duas condições iniciais em
. A solução procurada é a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Explicação (aula rápida): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico em
. Isso transforma uma EDO em uma equação algébrica, que é mais simples de resolver.
Formamos o polinômio característico:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Explicação (aula rápida): o termo do lado direito é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular também polinomial do mesmo grau, da forma
onde
e
são constantes a encontrar. Observação importante: se alguma parte de
coincidisse com uma solução da homogênea, teríamos que multiplicar por
; aqui não há coincidência porque as soluções homogêneas são exponenciais, então a escolha
é válida.
Calcule as derivadas necessárias:
Substituímos na equação:
Ou seja,
Agora igualamos coeficientes do polinômio em
. Coeficiente de
:
Coeficiente constante:
Logo a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Primeira condição:
Segunda condição: precisamos de
. Derivando
:
Impondo
:
Agora resolvemos o sistema linear
Somamos as duas equações (multiplicando a segunda por
da primeira:
. Substituo na segunda:
Calcule:
Então
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: