Encontre a solução do PVI abaixo:
2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=x+1, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
2y''+y'-y = x+1,
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Dados relevantes: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo x+1; as duas condições iniciais em x=0. A solução procurada é a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
2y''+y'-y=0.
Explicação (aula rápida): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico em r. Isso transforma uma EDO em uma equação algébrica, que é mais simples de resolver.
Formamos o polinômio característico:
2r^2 + r - 1 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}.
Portanto as raízes são
r_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2},\qquad r_2=\frac{-1-3}{4}=-1.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}=C_1 e^{x/2}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p(x) da equação completa
2y''+y'-y = x+1.
Explicação (aula rápida): o termo do lado direito é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular também polinomial do mesmo grau, da forma
y_p(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a encontrar. Observação importante: se alguma parte de Ax+B coincidisse com uma solução da homogênea, teríamos que multiplicar por x; aqui não há coincidência porque as soluções homogêneas são exponenciais, então a escolha Ax+B é válida.
Calcule as derivadas necessárias:
y_p'(x)=A,\qquad y_p''(x)=0.
Substituímos na equação:
2\cdot 0 + A - (Ax+B) = x+1.
Ou seja,
A - Ax - B = x+1.
Agora igualamos coeficientes do polinômio em x. Coeficiente de x:
- A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Coeficiente constante:
A - B = 1 \quad\Rightarrow\quad -1 - B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = -2.
Logo a solução particular é
y_p(x) = -x - 2.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{x/2}+C_2 e^{-x}-x-2.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 6

Primeira condição: y(0)=1\). Substituindo \(x=0\): \[y(0)=C_1 + C_2 - 0 - 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 3.
Segunda condição: precisamos de y'(x). Derivando y(x):
y'(x)=\frac{C_1}{2} e^{x/2} - C_2 e^{-x} - 1.
Impondo y'(0)=0:
\frac{C_1}{2} - C_2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{C_1}{2} - C_2 = 1.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = 3,\\[4pt] \frac{C_1}{2} - C_2 = 1. \end{cases}
Somamos as duas equações (multiplicando a segunda por 1\] e somando): primeiro isolo \(C_2 da primeira: C_2=3-C_1. Substituo na segunda:
\frac{C_1}{2} - (3-C_1) = 1.
Calcule:
\frac{C_1}{2} -3 + C_1 =1 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2}C_1 =4 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{8}{3}.
Então
C_2 = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3}=\frac{1}{3}.]

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\frac{8}{3} e^{x/2} + \frac{1}{3} e^{-x} - x - 2.

Resposta

y(x)=\frac{8}{3}e^{x/2}+\frac{1}{3}e^{-x}-x-2

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