Encontre a solução geral das EDOs:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma EDO linear, homogênea e com coeficientes constantes.
- Não foi dado valor numérico para
, então a solução geral deve considerar os diferentes casos que dependem de . - A incógnita é
e a derivada é em relação à variável independente .
Passo 2
Método padrão (presuma solução exponencial). Vou explicar passo a passo e por quê.
-
Tentamos uma solução do tipo
, onde é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por , o que reduz a EDO a uma equação algébrica — muito útil com coeficientes constantes. -
Calcule as derivadas:
- Substituindo na EDO:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica (algébrica):
- Resolva essa quadrática com a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Pela fórmula quadrática,
- A forma da solução geral depende do sinal de
. Vou explicar cada caso e por que a solução tem aquela forma.
Passo 3
Caso 1 —
(duas raízes reais distintas).
Se , as raízes são reais e distintas:
Se
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem, duas soluções independentes dão a solução geral como combinação linear. As funções
e
são independentes, logo
onde
são constantes arbitrárias.
Exemplo rápido: se
então
,
,
e
Passo 4
Caso 2 —
(raiz real dupla).
Se (ou seja,
), então a raiz é única:
Se
Nessa situação a teoria diz que, além de
, uma segunda solução linearmente independente pode ser obtida multiplicando por
:
. Assim a solução geral é
Breve justificativa: num caso de raiz dupla da equação característica, a redução de ordem ou a forma conhecida para coeficientes constantes mostra que
é independente de
.
Passo 5
Caso 3 —
(raízes complexas conjugadas).
Se , escrevemos
. As raízes são
Se
Denotando
e
(com
), temos raízes
. Nesse caso a solução real geral é dada por
Aqui o fator
vem da parte real da raiz e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária — essa é a maneira padrão de transformar soluções complexas em soluções reais e independentes.
Exemplo rápido: se
então
,
,
e
Passo 6
Resumo didático do que fizemos (como usar isso na prova):
- Formule a equação característica substituindo
. - Calcule
e aplique os três casos: , , . - Escreva a solução geral adequada ao caso usando constantes arbitrárias
.
Agora você tem a receita pronta para qualquer valor de: calcula , acha as raízes e monta a solução conforme os casos acima. Força aí — você consegue!
Resposta
Se
:
Se
(ou seja
):
Se
: