Encontre a solução geral das EDOs:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-b y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - b\,y = 0,
onde b é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO linear, homogênea e com coeficientes constantes.
  • Não foi dado valor numérico para b, então a solução geral deve considerar os diferentes casos que dependem de b.
  • A incógnita é y=y(x) e a derivada é em relação à variável independente x.

Passo 2

Método padrão (presuma solução exponencial). Vou explicar passo a passo e por quê.
  1. Tentamos uma solução do tipo \displaystyle y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por r, o que reduz a EDO a uma equação algébrica — muito útil com coeficientes constantes.
  2. Calcule as derivadas:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
  1. Substituindo na EDO:
r^{2} e^{rx} - r e^{rx} - b e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica (algébrica):
r^{2} - r - b = 0.
  1. Resolva essa quadrática com a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 1 + 4b.
Pela fórmula quadrática,
r = \frac{1 \pm \sqrt{1+4b}}{2}.
  1. A forma da solução geral depende do sinal de \Delta. Vou explicar cada caso e por que a solução tem aquela forma.

Passo 3

Caso 1 — \Delta>0 (duas raízes reais distintas).
Se 1+4b>0, as raízes são reais e distintas:
r_{1}=\frac{1+\sqrt{1+4b}}{2},\qquad r_{2}=\frac{1-\sqrt{1+4b}}{2}.
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem, duas soluções independentes dão a solução geral como combinação linear. As funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são independentes, logo
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Exemplo rápido: se b=2 então \Delta=1+8=9, r_{1}=(1+3)/2=2, r_{2}=(1-3)/2=-1 e
y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x}.

Passo 4

Caso 2 — \Delta=0 (raiz real dupla).
Se 1+4b=0 (ou seja, b=-\tfrac{1}{4}), então a raiz é única:
r_{0}=\frac{1}{2}.
Nessa situação a teoria diz que, além de e^{r_{0}x}, uma segunda solução linearmente independente pode ser obtida multiplicando por x: x e^{r_{0}x}. Assim a solução geral é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\,e^{r_{0}x}=(C_{1}+C_{2}x)\,e^{x/2}.
Breve justificativa: num caso de raiz dupla da equação característica, a redução de ordem ou a forma conhecida para coeficientes constantes mostra que x e^{r_{0}x} é independente de e^{r_{0}x}.

Passo 5

Caso 3 — \Delta<0 (raízes complexas conjugadas).
Se 1+4b<0, escrevemos \sqrt{1+4b}=i\sqrt{-(1+4b)}. As raízes são
r=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{-(1+4b)}}{2}.
Denotando \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{-(1+4b)}}{2} (com \beta>0), temos raízes \alpha\pm i\beta. Nesse caso a solução real geral é dada por
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Aqui o fator e^{\alpha x} vem da parte real da raiz e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária — essa é a maneira padrão de transformar soluções complexas em soluções reais e independentes.
Exemplo rápido: se b=-1 então \Delta=1-4=-3, \alpha=\tfrac{1}{2}, \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e
y=e^{x/2}\bigl(C_{1}\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)\bigr).

Passo 6

Resumo didático do que fizemos (como usar isso na prova):
  • Formule a equação característica substituindo y=e^{rx}.
  • Calcule \Delta=1+4b e aplique os três casos: \Delta>0, \Delta=0, \Delta<0.
  • Escreva a solução geral adequada ao caso usando constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.
    Agora você tem a receita pronta para qualquer valor de b: calcula \Delta, acha as raízes e monta a solução conforme os casos acima. Força aí — você consegue!

Resposta

Se 1+4b>0:
y(x)=C_{1}\exp\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{1+4b}}{2}x\Bigr)+C_{2}\exp\!\Bigl(\frac{1-\sqrt{1+4b}}{2}x\Bigr).
Se 1+4b=0 (ou seja b=-\tfrac{1}{4}):
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\,e^{x/2}.
Se 1+4b<0:
y(x)=e^{x/2}\Bigl(C_{1}\cos\!\Bigl(\frac{\sqrt{-(1+4b)}}{2}x\Bigr)+C_{2}\sin\!\Bigl(\frac{\sqrt{-(1+4b)}}{2}x\Bigr)\Bigr).

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