Encontre a solução do PVI:
cy^prime prime+4 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''+4y=0, y(0)=2, y'(0)=6
Esse é um caso de EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o polinômio característico e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico associado à EDO, que é
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, obtemos raízes complexas conjugadas
r = ,pm 2i
Pela teoria, isso gera solução geral da forma
y(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar A e B. Primeiro, em t=0:
y(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A = 2
Logo A = 2.
Em seguida, derivamos y(t):
y'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t)
Em t=0:
y'(0) = -2Asin(0) + 2Bcos(0) = 2B = 6
Assim B = 3.

Resposta

y(t) = 2cos(2t) + 3sin(2t)

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