A quantidade Q de uma substância radioativa decai no tempo (medido em anos) de acordo com a equação
d Qd t=-0,035 Q
Determine a meia vida desta substância (use que ln 2 approx 0,7 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a quantidade $ Q $ de uma substância radioativa que diminui ao longo do tempo, e nos dá a equação diferencial:
Q
Isso está relacionado ao estudo de decaimento radioativo, que envolve entender como uma substância perde sua quantidade com o tempo. Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções exponenciais, além de saber calcular a meia-vida da substância.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
d Qd t = -0,035 Q
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos separar as variáveis $ Q $ e $ t $ para integrar. Vamos reescrever a equação:
Q

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
integral 1Q , d Q = integral -0,035 , dt
Integrando, obtemos:
ln |Q| = -0,035 t + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para $ Q $ exponenciando ambos os lados da equação:
Q
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ Q_0 $ (que representa a quantidade inicial da substância):
Q = e^-0,035 t + C = e^C cdot e^-0,035 t

Passo 5

A meia-vida ($ t_{1/2} $) é o tempo necessário para que a quantidade $ Q $ seja reduzida pela metade. Ou seja, queremos encontrar $ t $ tal que $ Q(t) = \frac{Q_0}{2} $:
t1/2
Dividindo ambos os lados por $ Q_0 $:
Q

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln ( 12 ) = -0,035 t
Sabemos que $ \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -\ln 2 \approx -0,7 $. Então:
ln ( 12 ) = -ln 2 approx -0,7

Passo 7

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ -0,035 $:
t

Resposta

A meia-vida da substância é de 20 anos.

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