A quantidade
de uma substância radioativa decai no tempo (medido em anos) de acordo com a equação
Determine a meia vida desta substância (use que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a quantidade $ Q $ de uma substância radioativa que diminui ao longo do tempo, e nos dá a equação diferencial:
Isso está relacionado ao estudo de decaimento radioativo, que envolve entender como uma substância perde sua quantidade com o tempo. Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e funções exponenciais, além de saber calcular a meia-vida da substância.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos separar as variáveis $ Q $ e $ t $ para integrar. Vamos reescrever a equação:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para $ Q $ exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ Q_0 $ (que representa a quantidade inicial da substância):
Passo 5
A meia-vida ($ t_{1/2} $) é o tempo necessário para que a quantidade $ Q $ seja reduzida pela metade. Ou seja, queremos encontrar $ t $ tal que $ Q(t) = \frac{Q_0}{2} $:
Dividindo ambos os lados por $ Q_0 $:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que $ \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -\ln 2 \approx -0,7 $. Então:
Passo 7
Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ -0,035 $:
Resposta
A meia-vida da substância é de 20 anos.