Verifique que a equação diferencial
(2 x y^2 e^x+x^2 y^2 e^x) d x+2 x^2 y e^x d y=0
é exata e encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
(2 x y^2 e^x + x^2 y^2 e^x) dx + 2 x^2 y e^x dy = 0
O objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar saber o que é uma equação diferencial exata e como encontrar sua solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $ na equação. Geralmente, escrevemos uma equação diferencial na forma:
dx
No nosso caso:
dy
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Derivando em relação a $ y $:
M(x, y) = 2 x y^2 e^x + x^2 y^2 e^x

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x
Derivando em relação a $ x $:
N(x, y) = 2 x^2 y e^x

Passo 6

Agora, vamos comparar $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y
partial Npartial x
Como elas são iguais, ou seja:
partial Mpartial y = 4 x y e^x + 2 x^2 y e^x
Isso confirma que a equação diferencial é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
dF = M dx + N dy = 0
Onde $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.

Passo 8

Integrando $ M $ em relação a $ x $:
M
Vamos fatorar $ y^{2} e^{x} $:
x
Integrando:
M(x, y) = 2 x y^2 e^x + x^2 y^2 e^x
A integral de $ (2x + x^{2}) e^{x} $ em relação a $ x $ é:
y^2 e^x
Portanto:
M(x, y) = y^2 e^x (2x + x^2)

Passo 9

Agora, vamos encontrar $ g(y) $. Para isso, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
g(y)
Isso implica que:
F(x, y)
Logo:
y
Integrando $ g’(y) $:
N
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 10

Assim, a função $ F(x, y) $ que satisfaz $ dF = 0 $ é:
F(x, y)
Para obter a solução geral da equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
dF = 0

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 y^2 e^x = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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