Verifique que a equação diferencial
é exata e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar saber o que é uma equação diferencial exata e como encontrar sua solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $ na equação. Geralmente, escrevemos uma equação diferencial na forma:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, vamos comparar $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Como elas são iguais, ou seja:
Isso confirma que a equação diferencial é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Para encontrar $ F(x, y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Onde $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Passo 8
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Vamos fatorar $ y^{2} e^{x} $:
Integrando:
A integral de $ (2x + x^{2}) e^{x} $ em relação a $ x $ é:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar $ g(y) $. Para isso, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Isso implica que:
Logo:
Integrando $ g’(y) $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 10
Assim, a função $ F(x, y) $ que satisfaz $ dF = 0 $ é:
Para obter a solução geral da equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.