Resolva o problema de valor inicial
d yd t & =-5 y+2 y(0) & =1
e calcule lim t +infty y(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
dydt & = -5y + 2 y(0) & = 1
Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente aquelas que são lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma padrão:
dydt + 5y = 2
Aqui, identificamos que o coeficiente de $ y $ é 5, e o termo independente é 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão. No nosso caso, $ P(t) = 5 $, então:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^5t cdot dydt + 5e^5ty = 2e^5t
Isso transforma a equação em:
ddt( e^5ty ) = 2e^5t
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido precisamente para facilitar essa transformação.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
t
A integração do lado esquerdo simplifica para:
integral ddt( e^5ty ) dt = integral 2e^5t dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Aqui, dividimos ambos os lados por $ e^{5t} $ para isolar $ y $.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 1

Passo 8

Substituímos $ C $ na expressão geral de $ y(t) $:
C

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 25 + 35e^-5t
E o limite quando $ t $ tende ao infinito é:
t

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