Encontre a solução do PVI:
cy^(3)-2 y^prime=4 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de terceira ordem
y^(3) - 2y' = 4t,
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e y''(0)=4. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes com termo não-homogêneo. Vamos precisar: 1) achar a solução geral da equação homogênea associada; 2) obter uma solução particular por coeficientes indeterminados; 3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A parte homogênea é
y^(3) - 2y' = 0
O polinômio característico é r^3 - 2r = r(r^2 - 2) = 0, cujas raízes são r=0, r=raiz2 e r=-raiz2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^raiz2,t + C3 e^-raiz2,t

Passo 3

Para a parte não-homogênea 4t, usamos coeficientes indeterminados. Como r=0 já é raiz simples, multiplicamos o polinômio teste por t. Suponha
yp(t) = a t^2 + b t
Então
yp' = 2a t + b,
yp'' = 2a,
yp^(3) = 0
Substituindo em y^(3) - 2y' = 4t:
0 - 2(2a t + b) = 4t implies -4a t - 2b = 4t
Comparando coeficientes: -4a = 4 a = -1, e -2b = 0 b = 0. Logo
yp(t) = -t^2

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^raiz2 t + C3 e^-raiz2 t - t^2
Calculamos as derivadas para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = C2raiz2 e^raiz2 t - C3raiz2 e^-raiz2 t - 2t,
y''(t) = 2C2 e^raiz2 t + 2C3 e^-raiz2 t - 2

Passo 5

Em t=0 temos o sistema:
  1. y(0)=0 gera C1 + C2 + C3 = 0
  2. y'(0)=0 gera raiz2(C2 - C3)=0 C2=C3
  3. y''(0)=4 gera 2C2 + 2C3 - 2 =4 4C2 -2=4 C2=3/2, logo C3=3/2 e C1 = -C2 - C3 = -3

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = -3 + 32e^raiz2 t + 32e^-raiz2 t - t^2,
ou equivalentemente
y(t) = 3l(cosh(raiz2 t)-1r) - t^2

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