Suponha conhecido a identidade
onde
. Substitua
por
nessa identidade e explique a igualdade
para todo
.
(b) Use os três primeiros termos da série anterior para dar uma aproximação da integral
(b) Use os três primeiros termos da série anterior para dar uma aproximação da integral
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta uma identidade de série infinita:
onde $ |x| < 1 $. Nosso objetivo é substituir $ x $ por $ -t^{2} $ nessa identidade e explicar uma série para a função arco-tangente ($ \arctan x $). Além disso, na parte (b), vamos usar os três primeiros termos dessa série para aproximar uma integral específica. Para resolver isso, vamos precisar entender séries infinitas, substituição de variáveis em séries e como aproximar integrais usando séries.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x $ por $ -t^{2} $ na série geométrica dada:
Simplificando os termos:
Essa é a expansão da série geométrica para $ \frac{1}{1 + t^{2}} $ válida para $ |t| < 1 $.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa série com a função $ \arctan x $. Sabemos que:
Substituindo a série que encontramos para $ \frac{1}{1 + t^{2}} $:
Integrando termo a termo:
Simplificando, obtemos a série de Taylor para $ \arctan x $:
Isso vale para todo $ -1 < x < 1 $.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos usar os três primeiros termos da série da $ \arctan x $ para aproximar a integral:
Primeiro, substituímos a série de $ \arctan x $ na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- $ \int_{0}^{1/2} 1 , dx = \left. x \right|_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} $
- $ \int_{0}^{1/2} -\frac{x^{2}}{3} , dx = -\frac{1}{3} \cdot \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1/2} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1/2)^3}{3} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{24} = -\frac{1}{72} $
- $ \int_{0}^{1/2} \frac{x^{4}}{5} , dx = \frac{1}{5} \cdot \left. \frac{x^{5}}{5} \right|_{0}^{1/2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(1/2)^5}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{160} = \frac{1}{800} $
Somando os resultados:
Resposta
Aproximação da integral $ \int_{0}^{1/2} \frac{\arctan x}{x} dx $ usando os três primeiros termos da série é aproximadamente 0,48625.