Encontre a solução do PVI envolvendo uma equação de Bernoulli:
l d yd t-5 y=e^-2 t y^-2 y(0)=2
Resposta: y(x)=(139 e^15 t-3 e^-2 t17)^13.

Passo 1

A questão é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial não linear do tipo Bernoulli: temos
dydt-5y = e^-2ty^-2, y(0)=2
O conteúdo aqui é a transformação de Bernoulli, que consiste em reduzir essa equação a uma linear via a substituição u = y^1-n.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão
dydt + P(t),y = Q(t),y^n
aqui identificamos:
P(t) = -5, Q(t)=e^-2t, n = -2
Para esse n, fazemos a substituição de Bernoulli
u = y^1-n = y^1-(-2) = y^3
Isso transforma a não linear em linear.

Passo 3

Agora vamos relacionar du/dt e dy/dt. Diferenciando u=y^3, vem
dudt = 3y^2dydt
Multiplicamos a equação original por 3y^2 para substituir:
3y^2dydt - 15y^3 = 3e^-2t
ou seja
dudt - 15u = 3e^-2t,
uma equação linear em u.

Passo 4

Para resolver
dudt - 15u = 3e^-2t,
calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral(-15)dt = e^-15t
Multiplicando tudo por e^-15t
ddtl(u e^-15tr) = 3e^-2te^-15t = 3e^-17t
Integramos:
u e^-15t = integral 3e^-17tdt = -317e^-17t + C
Logo
u(t) = -317e^-2t + Ce^15t

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=2 temos u(0)=2^3=8. Assim,
8 = -317+C implies C = 8 + 317 = 13917
Portanto
u(t) = 13917e^15t-317e^-2t
Voltando à y, como y = u^1/3, obtemos a solução do PVI:

Resposta

y(t)=(139e^15t-3e^-2t17)^1/3.

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