Encontre a solução do PVI envolvendo uma equação de Bernoulli:
Resposta:
.
Passo 1
A questão é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial não linear do tipo Bernoulli: temos
O conteúdo aqui é a transformação de Bernoulli, que consiste em reduzir essa equação a uma linear via a substituição
.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação no formato padrão
aqui identificamos:
Para esse
, fazemos a substituição de Bernoulli
Isso transforma a não linear em linear.
Passo 3
Agora vamos relacionar
e
. Diferenciando
, vem
Multiplicamos a equação original por
para substituir:
ou seja
uma equação linear em
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando tudo por
dá
Integramos:
Logo
Passo 5
Usando a condição inicial
temos
. Assim,
Portanto
Voltando à
, como
, obtemos a solução do PVI: