Neste exercício vamos resolver a EDO . O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com termo não homogêneo e vamos usar a forma geral da solução, que é soma da solução homogênea com uma solução particular. Para encontrar a parte particular, aplicaremos o método de variação de parâmetros.
Passo 2
A solução homogênea satisfaz . A equação característica é , cujas raízes são . Assim, obtemos
Passo 3
Para a variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais e . Calculamos o Wronskiano:
Passo 4
A fórmula de variação de parâmetros dá
yp = -u1 integral u2 fW,dx + u2 integral u1 fW,dx,
onde f(x)=sec x=tfrac1cos x. Substituindo: yp = -cos x integral sin xsec x,dx + sin x integral cos xsec x,dx
Passo 5
Calculamos as integrais:
integral sin xsec x,dx = integral tan x,dx = -lnlvertcos xrvert,
integral cos xsec x,dx = integral 1,dx = x
Passo 6
Logo,
yp = -cos xl(-lnlvertcos xrvertr) + sin x,x = cos xlnlvertcos xrvert + xsin x
Passo 7
A solução geral da equação é a soma de yh com yp.
Resposta
y(x) = C1cos x + C2sin x + cos xlnlvertcos xrvert + xsin x.