Resolver a seguinte equação diferencial:
d^2 yd x^2+y=1cos x.

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a EDO y'' + y = tfrac1cos x. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com termo não homogêneo e vamos usar a forma geral da solução, que é soma da solução homogênea com uma solução particular. Para encontrar a parte particular, aplicaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

A solução homogênea satisfaz y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = pm i. Assim, obtemos
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para a variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais u1 = cos x e u2 = sin x. Calculamos o Wronskiano:
W = cos x & sin x -sin x & cos x = cos^2 x + sin^2 x = 1

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros dá
yp = -u1 integral u2 fW,dx + u2 integral u1 fW,dx,
onde f(x)=sec x=tfrac1cos x. Substituindo:
yp = -cos x integral sin xsec x,dx + sin x integral cos xsec x,dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral sin xsec x,dx = integral tan x,dx = -lnlvertcos xrvert,
integral cos xsec x,dx = integral 1,dx = x

Passo 6

Logo,
yp = -cos xl(-lnlvertcos xrvertr) + sin x,x = cos xlnlvertcos xrvert + xsin x

Passo 7

A solução geral da equação é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x + cos xlnlvertcos xrvert + xsin x.

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