Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução da velocidade
para a queda livre com resistência do ar proporcional à velocidade (veja o Exemplo 6 em nossa Aula 2)
Encontre a velocidade limit
, ou seja,
. Seria possível encontrar a posição
desse móvel, sabendo que sua altitude inicial é
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que representa a velocidade $ v(t) $ de um objeto em queda livre com resistência do ar proporcional à velocidade. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade, $ c $ é uma constante positiva que representa a resistência do ar, e $ v(0) = 0 $ significa que a velocidade inicial é zero. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver essa equação e encontrar a função $ v(t) $. Além disso, queremos determinar a velocidade limite $ v_{L,1} = \lim_{t \rightarrow \infty} v(t) $ e verificar se é possível encontrar a posição $ x(t) $ do objeto.
Passo 2
Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ v(t) $. A integral do lado esquerdo requer uma substituição simples.
Passo 3
Integrando o lado esquerdo:
onde $ C $ é a constante de integração.
O lado direito é:
Igualando as duas integrais:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ v $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -c $:
Onde $ C’ = -c C $ ainda é uma constante.
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde $ A = e^{C’} $ é uma constante.
Passo 5
Isolando $ v(t) $:
Agora, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $ para encontrar $ A $:
Portanto, a solução é:
Passo 6
Para encontrar a velocidade limite $ v_{L,1} $, calculamos o limite de $ v(t) $ quando $ t $ tende ao infinito:
Como $ e^{-c t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito:
Passo 7
Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, sabemos que $ v(t) = \frac{d x}{d t} $. Portanto, integramos $ v(t) $ em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial $ x(0) = x_0 $:
Portanto, a posição é:
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é:
A velocidade limite é:
Além disso, é possível encontrar a posição $ x(t) $ do objeto, dada por: