Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução da velocidade v(t) para a queda livre com resistência do ar proporcional à velocidade (veja o Exemplo 6 em nossa Aula 2)
d vd t=g-c v, v(0)=0, c>0
Encontre a velocidade limit vL, 1, ou seja, vL, 1=lim t infty v(t). Seria possível encontrar a posição x(t) desse móvel, sabendo que sua altitude inicial é x(0)=x0 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que representa a velocidade $ v(t) $ de um objeto em queda livre com resistência do ar proporcional à velocidade. O enunciado nos dá a seguinte equação:
v(t)
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade, $ c $ é uma constante positiva que representa a resistência do ar, e $ v(0) = 0 $ significa que a velocidade inicial é zero. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver essa equação e encontrar a função $ v(t) $. Além disso, queremos determinar a velocidade limite $ v_{L,1} = \lim_{t \rightarrow \infty} v(t) $ e verificar se é possível encontrar a posição $ x(t) $ do objeto.

Passo 2

Vamos começar separando as variáveis na equação diferencial. A equação dada é:
d vd t = g - c v
Podemos reescrever isso como:
d vg - c v = d t
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ v(t) $. A integral do lado esquerdo requer uma substituição simples.

Passo 3

Integrando o lado esquerdo:
integral 1g - c v , d v = -1c ln |g - c v| + C,
onde $ C $ é a constante de integração.
O lado direito é:
C
Igualando as duas integrais:
integral d t = t + C

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ v $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -c $:
v
Onde $ C’ = -c C $ ainda é uma constante.
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
-c
onde $ A = e^{C’} $ é uma constante.

Passo 5

Isolando $ v(t) $:
v(t)
c v = g - A e^-c t,
Agora, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $ para encontrar $ A $:
v(t) = gc - Ac e^-c t
v(0) = 0
A
Portanto, a solução é:
0 = gc - Ac e^0,

Passo 6

Para encontrar a velocidade limite $ v_{L,1} $, calculamos o limite de $ v(t) $ quando $ t $ tende ao infinito:
vL,1
Como $ e^{-c t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito:
v(t)

Passo 7

Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, sabemos que $ v(t) = \frac{d x}{d t} $. Portanto, integramos $ v(t) $ em relação ao tempo:
x(t)
Integrando termo a termo:
v(t) = d xd t
Usando a condição inicial $ x(0) = x_0 $:
v(t)
x(t) = integral v(t) , d t = integral gc (1 - e^-c t) d t
x(t) = gc t + gc^2 e^-c t + C
Portanto, a posição é:
x(0) = x0

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é:
v(t) = gc (1 - e^-c t)
A velocidade limite é:
vL,1 = gc
Além disso, é possível encontrar a posição $ x(t) $ do objeto, dada por:
x(t)

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