Encontre a Transformada de Laplace inversa de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{1}{s{5}\left(s{2}+4\right)} $. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função $ F(s) $ em frações parciais. Isso significa que vamos reescrever $ F(s) $ como uma soma de termos mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 3
A função $ F(s) $ é dada por:
Vamos supor que essa função pode ser decomposta nas seguintes frações parciais:
Aqui, $ A, B, C, D, E, F $ e $ G $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por $ s{5}(s{2}+4) $ para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e juntar os termos semelhantes.
Passo 5
Expandindo os termos:
Agora, organizamos os termos por potências de $ s $:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ s $ dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas o termo constante 1, então todos os outros coeficientes devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
- $ 4D = 0 $ → $ D = 0 $
- $ 4E = 1 $ → $ E = \frac{1}{4} $
- $ 4B + D = 0 $ → $ 4B + 0 = 0 $ → $ B = 0 $
- $ B + G = 0 $ → $ 0 + G = 0 $ → $ G = 0 $
- $ 4C + E = 0 $ → $ 4C + \frac{1}{4} = 0 $ → $ C = -\frac{1}{16} $
- $ 4A + C = 0 $ → $ 4A - \frac{1}{16} = 0 $ → $ A = \frac{1}{64} $
- $ A + F = 0 $ → $ \frac{1}{64} + F = 0 $ → $ F = -\frac{1}{64} $
Passo 8
Agora que encontramos todos os valores das constantes, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{ \frac{1}{s} \right} = 1 $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{ \frac{1}{s^{n}} \right} = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{ \frac{s}{s^{2} + a^{2}} \right} = \cos(a t) $
Vamos aplicar isso aos nossos termos:
- $ \frac{1}{64 s} $ → $ \frac{1}{64} \cdot 1 = \frac{1}{64} $
- $ -\frac{1}{16 s^{3}} $ → $ -\frac{1}{16} \cdot \frac{t^{2}}{2!} = -\frac{1}{32} t^{2} $
- $ \frac{1}{4 s^{5}} $ → $ \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{4}}{4!} = \frac{1}{96} t^{4} $
- $ -\frac{1}{64} \cdot \frac{s}{s^{2}+4} $ → $ -\frac{1}{64} \cos(2 t) $ (já que $ a = 2 $)
Passo 10
Finalmente, juntando todos os termos, temos a Transformada de Laplace inversa de $ F(s) $:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é