Determine as seguintes derivadas:
f^prime(x), em que f(x)=43 raiz[4]x-1x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=tfrac43raiz[4]tfracx-1x+2. O conteúdo envolvido é regra da cadeia e derivação de quociente, pois temos uma raiz de quarto grau aplicada a uma função quociente.

Passo 2

Vamos definir h(x)=tfracx-1x+2, de modo que f(x)=tfrac43[h(x)]^1/4. Assim fica mais claro aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=43cdot14[h(x)]^-3/4cdot h'(x)

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente para derivar h(x)=tfracx-1x+2:
h'(x)=(x+2)cdot1-(x-1)cdot1(x+2)^2 = x+2-x+1(x+2)^2 = 3(x+2)^2

Passo 5

Substituindo h'(x) em f'(x) e simplificando o fator tfrac43cdottfrac14cdot3=1,
f'(x)= [h(x)]^-3/4cdot1(x+2)^2 = (x-1x+2)^-3/41(x+2)^2

Passo 6

Por fim, reescrevemos sem expoentes negativos:
f'(x)=1(x-1)^3/4(x+2)^5/4(ajustando o expoente corretamente para o fator $(x-1)^3/4$)

Resposta

\displaystyle f’(x)=\frac{1}{(x-1){3/4}(x+2){5/4}}

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