Encontre a solução dos PVIs abaixo:

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'''-2y''+y'=2-24e^x+40e^5x, y(0)=tfrac12,;y'(0)=tfrac52,;y''(0)=-tfrac92
É uma EDO linear de 3.º ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) uma solução particular por coeficientes indeterminados e (iii) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A parte homogênea é
y'''-2y''+y'=0,
cuja equação característica é
r^3-2r^2+r=r(r^2-2r+1)=r(r-1)^2=0
Logo as raízes são r=0 (simples) e r=1 (dupla). Portanto
yh(x)=C1 + C2 e^x + C3 x e^x

Passo 3

Procuramos yp da forma
yp(x)=A,x;+;B,x^2e^x;+;C,e^5x,
separando cada termo do lado direito:
  1. Para o termo constante 2, tente yp1=A x.
    Então
    L[yp1]=yp1'''-2yp1''+yp1'=0-0+A=A,
    e impõe-se A=2.
  2. Para -24e^x, tente yp2=B,x^2e^x.
    Calcula-se
    L[yp2]=2B,e^xLongrightarrow2B=-24;Rightarrow;B=-12
  3. Para 40e^5x, tente yp3=C,e^5x.
    Calcula-se
    L[yp3]=80C,e^5xLongrightarrow80C=40;Rightarrow;C=tfrac12
Logo
yp(x)=2x -12x^2e^x + tfrac12e^5x

Passo 4

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1 + C2 e^x + C3 x e^x + 2x -12x^2e^x + tfrac12e^5x

Passo 5

Calculamos [y,y’,y’’) em e aplicamos as condições iniciais:
  1. ,
    logo
  2. ,
    logo
Resolvendo o sistema
obtemos , .

Passo 6

Substituindo os valores de C1,C2,C3 na solução geral, fica
y(x)=11 -11e^x +9x e^x +2x -12x^2e^x + tfrac12e^5x

Resposta

boxedy(x)=11 -11e^x +9x e^x +2x -12x^2e^x + tfrac12e^5x

Exercícios relacionados