Inverta a ordem de integração:
integral0^3 a integralxraiz3^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^3a!integralxraiz3^raiz4ax - x^2 f(x,y),dy,dx,
que descreve um domínio D no plano xy limitado por x=0, x=3a, pela reta
y = xraiz3
e pelo arco de círculo
y = raiz4ax - x^2.

Passo 2

Vamos caracterizar D. A curva y=raiz4ax - x^2 é o semi-círculo
(x-2a)^2 + y^2 = (2a)^2, y>=0,
e a reta é y = x/raiz3. Essas duas fronteiras se cruzam em
x=0,;y=0 e x=3a,;y=araiz3

Passo 3

Para inverter, primeiro identificamos a variação de y. Como o ponto mais baixo de D é (0,0) e o mais alto é (3a,araiz3), temos
0 <= y <= araiz3

Passo 4

Em seguida, para cada yin[0,araiz3] achamos os x que satisfazem simultaneamente
xraiz3<= y Longrightarrow x<= raiz3,y
e
y<= raiz4ax - x^2 Longrightarrow (x-2a)^2 + y^2 <= 4a^2 Longrightarrow x >= 2a - raiz4a^2 - y^2
A restrição x<=3a fica implícita pois para y<= araiz3 tem-se raiz3,y<=3a. Logo, para dado y,
2a - raiz4a^2 - y^2;<=;x;<=;raiz3,y

Passo 5

Portanto a integral com ordem invertida fica
integral0^3a!integralxraiz3^raiz4ax - x^2 f(x,y),dy,dx = integral0^araiz3!integral2a - raiz4a^2 - y^2^raiz3,y f(x,y),dx,dy

Resposta

boxed integral0^3a!integralxraiz3^raiz4ax - x^2 f(x,y),dy,dx = integral0^araiz3!integral2a - raiz4a^2 - y^2^raiz3,y f(x,y),dx,dy

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