Encontre a solução da seguinte equação diferencial
(3 a x^2 y+2 a x y+a y^3)+(a x^2+a y^2) y^prime=0

Passo 1

A equação diferencial é de primeira ordem na forma M(x,y) + N(x,y)y' = 0, com M(x,y)=3ax^2y+2axy+ay^3 e N(x,y)=ax^2+ay^2. Vamos precisar enxergar que ela não é exata, mas admite fator integrante que depende apenas de x.

Passo 2

Dividindo tudo por a (supondo aneq0) para simplificar, obtemos
(3x^2y+2xy+y^3)+(x^2+y^2)y'=0

Passo 3

Calculemos
My= racpartialpartial y(3x^2y+2xy+y^3)=3x^2+2x+3y^2,
Nx=partialpartial x(x^2+y^2)=2x
Então
$$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{3x2+2x+3y2-2x}{x2+y2}=3,
$$
que depende só de My-NxN=3x^2+2x+3y^2-2xx^2+y^2=3, . Logo existe fator integrante x

Passo 4

Multiplicando a equação por e^3x, temos a nova forma widetilde M+widetilde N y'=0, onde
widetilde M=e^3x(3x^2y+2xy+y^3),
$$\widetilde N=e{3x}(x2+y^2).
$$
Verifica-se que agora widetilde N=e^3x(x^2+y^2) , ou seja, a equação ficou exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
$$\psi_x=\widetilde M=e{3x}(3x2y+2xy+y^3).
psix=widetilde M=e^3x(3x^2y+2xy+y^3) çã
\psi(x,y)=\int e{3x}(3x2y+2xy+y^3),dx
= x2y,e{3x}+\frac{y3}{3}e{3x}+h(y).
$$

Passo 6

Derivando em relação a y:
psiy=x^2e^3x+y^2e^3x+h'(y)
e igualando a widetilde N=e^3x(x^2+y^2) vemos que h'(y)=0. Assim h é constante.

Passo 7

A solução geral implícita é
psi(x,y)=e^3xl(x^2y+y^33r)=C

Resposta

e{3x}\bigl(x2y+\tfrac{y^3}{3}\bigr)=C

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