Encontre a solução da seguinte equação diferencial
Passo 1
A equação diferencial é de primeira ordem na forma
, com
e
. Vamos precisar enxergar que ela não é exata, mas admite fator integrante que depende apenas de
.
Passo 2
Dividindo tudo por
(supondo
) para simplificar, obtemos
Passo 3
Calculemos
Então
$$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{3x2+2x+3y2-2x}{x2+y2}=3,
$$
que depende só de . Logo existe fator integrante
que depende só de
Passo 4
Multiplicando a equação por
, temos a nova forma
, onde
$$\widetilde N=e{3x}(x2+y^2).
$$
Verifica-se que agora , ou seja, a equação ficou exata.
Verifica-se que agora
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
$$\psi_x=\widetilde M=e{3x}(3x2y+2xy+y^3).
\psi(x,y)=\int e{3x}(3x2y+2xy+y^3),dx
= x2y,e{3x}+\frac{y3}{3}e{3x}+h(y).
= x2y,e{3x}+\frac{y3}{3}e{3x}+h(y).
$$
Passo 6
Derivando em relação a
:
e igualando a
vemos que
. Assim
é constante.
Passo 7
A solução geral implícita é
Resposta
e{3x}\bigl(x2y+\tfrac{y^3}{3}\bigr)=C