Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para f(x)=cos (x)+2 x, x0=0,1, x1=0,3 e x2=0,5.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador via fórmula de Newton para f(x)=cos(x)+2x nos nós x₀=0,1; x₁=0,3; x₂=0,5. O conteúdo é Interpolação Polinomial por Diferenças Divididas de Newton; vamos precisar calcular f em cada nó e as diferenças divididas de ordem 1 e 2.

Passo 2

Primeiro avaliamos f nos três nós:
Para x₀=0,1 temos f(x₀)=cos(0,1)+2⋅0,1
f(x₀)=cos(0,1)+0,2approx0,9950041653+0,2=1,1950041653
Para x₁=0,3 temos f(x₁)=cos(0,3)+2⋅0,3
f(x₁)=cos(0,3)+0,6approx0,9553364891+0,6=1,5553364891
Para x₂=0,5 temos f(x₂)=cos(0,5)+2⋅0,5
f(x₂)=cos(0,5)+1approx0,8775825620+1=1,8775825620

Passo 3

Calculamos agora as primeiras diferenças divididas:
f[x₀,x₁]=f(x₁)-f(x₀)x₁-x₀=1,5553364891-1,19500416530,2approx1,801661619
f[x₁,x₂]=f(x₂)-f(x₁)x₂-x₁=1,8775825620-1,55533648910,2approx1,611230364

Passo 4

Em seguida, a segunda diferença dividida:
f[x₀,x₁,x₂]=f[x₁,x₂]-f[x₀,x₁]x₂-x₀=1,611230364-1,8016616190,4approx-0,4760781375

Passo 5

Por fim montamos o polinômio de Newton de grau 2:
P2(x)=f(x₀)+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)
Substituindo os valores numéricos:
P2(x)=1,1950041653+1,801661619,(x-0,1)-0,4760781375,(x-0,1)(x-0,3)

Passo 6

Pronto! Esse é o polinômio interpolador na forma de Newton com base nos três nós dados.

Resposta

P2(x)=1,1950041653+1,801661619,(x-0,1)-0,4760781375,(x-0,1)(x-0,3)

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