Encontre a solução da seguinte equação diferencial
(3 x^2 y+2 x y+y^3)+(x^2+y^2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(3x^2y+2xy+y^3r)+l(x^2+y^2r)y'=0
O conteúdo é identificação de um fator integrante para tornar a equação exata. Vamos usar a definição de equação exata e fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Primeiro escrevemos no formato M(x,y)+N(x,y)y'=0 e identificamos
M(x,y)=3x^2y+2xy+y^3, N(x,y)=x^2+y^2
Calculamos as derivadas parciais:
My=3x^2+2x+3y^2, Nx=2x
Como Myneq Nx, não é exata.

Passo 3

Checamos a expressão (My-Nx)/N:
My-NxN=(3x^2+2x+3y^2)-2xx^2+y^2=3x^2+3y^2x^2+y^2=3
Isso depende só de x (na verdade é constante), logo existe fator integrante mu(x)=e^integral3,dx=e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação por e^3x:
e^3x(3x^2y+2xy+y^3)+e^3x(x^2+y^2)y'=0
Agora temos
M^*=e^3x(3x^2y+2xy+y^3), N^*=e^3x(x^2+y^2),
e verifica-se que partial M^*/partial y=partial N^*/partial x, ou seja, é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M^*=e^3x(3x^2y+2xy+y^3)
Integramos em relação a x:
$$
\psi(x,y)=\int e{3x}(3x{2}y+2xy+y^{3}),dx
=y\int e{3x}(3x{2}+2x+y^{2}),dx.
psi(x,y)=integral e^3x(3x^2y+2xy+y^3),dx =yintegral e^3x(3x^2+2x+y^2),dx
\frac{d}{dx}(x{2}e{3x})=e{3x}(3x{2}+2x),
ddx(x^2e^3x)=e^3x(3x^2+2x),
\psi(x,y)=y\bigl(x{2}e{3x}+\tfrac{y{2}}{3}e{3x}\bigr)+g(y)
=yx{2}e{3x}+\frac{y{3}}{3}e{3x}+g(y).
$$

Passo 6

Para determinar g(y), impomos psiy=N^*=e^3x(x^2+y^2). Calculando
psiy=x^2e^3x+y^2e^3x+g'(y)
e igualando a e^3x(x^2+y^2) vemos que g'(y)=0. Logo g(y) é constante e podemos absorvê-la em C.

Resposta

A solução implícita geral é
yx^2e^3x+y^33e^3x=C,
podendo também ser escrita como
$$
e{3x}\bigl(3x{2}y+y^{3}\bigr)=C’.$$

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