Encontre a solução da seguinte equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é identificação de um fator integrante para tornar a equação exata. Vamos usar a definição de equação exata e fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Primeiro escrevemos no formato
e identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, não é exata.
Passo 3
Checamos a expressão
:
Isso depende só de
(na verdade é constante), logo existe fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
Agora temos
e verifica-se que
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
$$
\psi(x,y)=\int e{3x}(3x{2}y+2xy+y^{3}),dx
=y\int e{3x}(3x{2}+2x+y^{2}),dx.
=y\int e{3x}(3x{2}+2x+y^{2}),dx.
\frac{d}{dx}(x{2}e{3x})=e{3x}(3x{2}+2x),
\psi(x,y)=y\bigl(x{2}e{3x}+\tfrac{y{2}}{3}e{3x}\bigr)+g(y)
=yx{2}e{3x}+\frac{y{3}}{3}e{3x}+g(y).
=yx{2}e{3x}+\frac{y{3}}{3}e{3x}+g(y).
$$
Passo 6
Para determinar
, impomos
. Calculando
e igualando a
vemos que
. Logo
é constante e podemos absorvê-la em
.
Resposta
A solução implícita geral é
podendo também ser escrita como
$$
e{3x}\bigl(3x{2}y+y^{3}\bigr)=C’.$$