Resolva o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
t y^prime+b y=t^2
com y(1)=b.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela EDO: t,y'+b,y=t^2 com y(1)=b. Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos por t (assumindo tneq0) para pôr na forma padrão:
y'+bt,y = t

Passo 3

Calculamos o fator integrante (\mu(t)=\exp\bigl(\int \tfrac{b}{t}dt\bigr)=\exp(b\ln t)=t^b.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^b e notamos que a esquerda é a derivada de t^b y:
ddtl(t^b yr)=t^b y'+b,t^b-1y=t^b+1
Em seguida integramos ambos os lados:
integral dl(t^b yr)=integral t^b+1dtLongrightarrow t^b y=t^b+2b+2+C

Passo 5

Isolamos y:
y=t^b+2(b+2)t^b+C,t^-b=t^2b+2+C,t^-b

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=b:
b=1^2b+2+Ccdot1^-b=1b+2+CLongrightarrow C=b-1b+2=b^2+2b-1b+2

Passo 7

Substituímos C na solução geral para obter a solução particular.

Resposta

y(t)=t^2b+2+b^2+2b-1b+2,t^-b

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