Considere a seqüência (an) definida recursivamente pelas condições:
l a1=1 an+1=an+22
Escolha uma das opções seguintes.
Escolha uma opção:
a. A seqüência converge para 1 .
b. A seqüência converge para 2.
c. A seqüência converge para 4.
d. A seqüência converge para 6.
e. A seqüência diverge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por inicialização e recorrência: a1 = 1 e an+1 = an + 22. O conteúdo aqui é recursão linear de primeira ordem, e vamos usar o conceito de limite de sequência definida por recorrência.

Passo 2

Para entender o comportamento quando ntoinfty, assumimos que existe um limite L = limntoinfty an. Como a sequência converge, an+1 e an se aproximam do mesmo valor L para grandes n.
Substituímos an+1 e an por L na relação de recorrência. Assim, temos
L = L + 22

Passo 3

Agora resolvemos essa equação para encontrar L. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
2L = L + 2
Em seguida, isolamos L:
2L - L = 2 Longrightarrow L = 2

Passo 4

Concluímos que a sequência converge e seu limite é 2.

Resposta

A sequência converge para 2.

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